4. Решите уравнение: x / (x - 5) + (3x + 15) / (x^2 - 25) = 0.

Решение:

Для решения уравнения сначала приведем его к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \).

1. Приведение к общему знаменателю:

   Умножаем первую дробь на \( x + 5 \):

   \( \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0 \)

   Тогда получим:

   \( \frac{x^2 + 5x + 3x + 15}{x^2 - 25} = 0 \)
   \( \frac{x^2 + 8x + 15}{x^2 - 25} = 0 \)
2. Решение числителя:

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю.

   Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 8x + 15 = 0 \).

   Используем дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 × 1 × 15 = 64 - 60 = 4 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 2}{2 × 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 2}{2 × 1} = \frac{-10}{2} = -5 \]
3. Проверка знаменателя:

   Знаменатель \( x^2 - 25 \) не должен быть равен нулю. То есть \( x ≠ 5 \) и \( x ≠ -5 \).

   Корень \( x_1 = -3 \) удовлетворяет условию, так как \( -3 ≠ 5 \) и \( -3 ≠ -5 \).

   Корень \( x_2 = -5 \) не удовлетворяет условию, так как при \( x = -5 \) знаменатель обращается в ноль.

Ответ: -3