4. Решите уравнение 2x² + 2x + 1/x² = 1.

Решение:

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, которое можно решить следующим образом:

1. Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):
   \( (2x^2 + 2x + \frac{1}{x^2}) \cdot x^2 = 1 \cdot x^2 \)
   \( 2x^4 + 2x^3 + 1 = x^2 \)
2. Перенесём все члены в левую часть уравнения:
   \( 2x^4 + 2x^3 - x^2 + 1 = 0 \)
3. Это уравнение четвёртой степени. Попробуем сгруппировать слагаемые или найти целочисленные корни. Заметим, что \( x=0 \) не является корнем, так как в исходном уравнении есть \( 1/x^2 \).
4. Попробуем проверить некоторые значения. Если \( x=1 \), то \( 2(1)^4 + 2(1)^3 - (1)^2 + 1 = 2 + 2 - 1 + 1 = 4 \neq 0 \). Если \( x=-1 \), то \( 2(-1)^4 + 2(-1)^3 - (-1)^2 + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0 \). Значит, \( x=-1 \) является корнем уравнения.
5. Разделим многочлен \( 2x^4 + 2x^3 - x^2 + 1 \) на \( (x+1) \) (так как \( x=-1 \) — корень, то \( (x - (-1)) = (x+1) \) — множитель).

      2x³   - x   + 1
x+1 | 2x⁴ + 2x³ - x² + 0x + 1
    -(2x⁴ + 2x³) 
      --------- 
            0  - x² + 0x
              -(-x² - x)
              --------- 
                    x + 1
                  -(x + 1)
                  ------- 
                        0

Таким образом, уравнение принимает вид:
\( (x+1)(2x^3 - x + 1) = 0 \)

У нас уже есть один корень \( x = -1 \). Теперь нужно решить кубическое уравнение \( 2x^3 - x + 1 = 0 \).

Попробуем снова найти целочисленные корни. Если \( x=-1 \), то \( 2(-1)^3 - (-1) + 1 = -2 + 1 + 1 = 0 \). Значит, \( x=-1 \) является корнем и кубического уравнения.

Разделим \( 2x^3 - x + 1 \) на \( (x+1) \):

      2x² - 2x + 1
x+1 | 2x³ + 0x² - x + 1
    -(2x³ + 2x²) 
      --------- 
           -2x² - x
         -(-2x² - 2x)
         -----------
                 x + 1
               -(x + 1)
               -------
                     0

Теперь уравнение имеет вид:
\( (x+1)(x+1)(2x^2 - 2x + 1) = 0 \)
или
\( (x+1)^2 (2x^2 - 2x + 1) = 0 \)

Отсюда следует, что либо \( x+1 = 0 \) (что даёт \( x = -1 \)), либо \( 2x^2 - 2x + 1 = 0 \).

Решим квадратное уравнение \( 2x^2 - 2x + 1 = 0 \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 \]

Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение \( 2x^2 - 2x + 1 = 0 \) не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является \( x = -1 \).

Ответ: x = -1.