4 Решите уравнения. a) 8 / 2,5 = (x - 2) / 3,5, б) (t - 5) · 2²/9 = 2,3 : 3⁵/₆, в) 2/3 · (k + 1) = -12

Решение:

a) \( \frac{8}{2,5} = \frac{x-2}{3,5} \)

1. Приведем десятичные дроби к обыкновенным: \( 2,5 = \frac{5}{2} \), \( 3,5 = \frac{7}{2} \).
2. Уравнение примет вид: \( \frac{8}{\frac{5}{2}} = \frac{x-2}{\frac{7}{2}} \).
3. Упростим: \( 8 \cdot \frac{2}{5} = (x-2) \cdot \frac{2}{7} \) → \( \frac{16}{5} = \frac{2(x-2)}{7} \).
4. Решим пропорцию: \( 16 \cdot 7 = 5 \cdot 2(x-2) \) → \( 112 = 10(x-2) \) → \( 112 = 10x - 20 \).
5. Выразим \( x \): \( 10x = 112 + 20 \) → \( 10x = 132 \) → \( x = \frac{132}{10} = 13,2 \).

Ответ к а): \( x = 13,2 \).

б) \( (t - 5) \cdot \frac{2^2}{9} = 2,3 : 3\frac{5}{6} \)

1. Упростим известные части уравнения: \( \frac{2^2}{9} = \frac{4}{9} \).
2. Переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные: \( 2,3 = \frac{23}{10} \), \( 3\frac{5}{6} = \frac{3 × 6 + 5}{6} = \frac{23}{6} \).
3. Уравнение примет вид: \( (t - 5) \cdot \frac{4}{9} = \frac{23}{10} : \frac{23}{6} \).
4. Вычислим правую часть: \( \frac{23}{10} \cdot \frac{6}{23} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
5. Уравнение: \( (t - 5) \cdot \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \).
6. Выразим \( t - 5 \): \( t - 5 = \frac{3}{5} : \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{20} \).
7. Выразим \( t \): \( t = \frac{27}{20} + 5 = \frac{27}{20} + \frac{100}{20} = \frac{127}{20} = 6,35 \).

Ответ к б): \( t = 6,35 \).

в) \( \frac{2}{3} \cdot (k + 1) = -12 \)

1. Выразим \( k + 1 \): \( k + 1 = -12 : \frac{2}{3} \).
2. Вычислим: \( k + 1 = -12 \cdot \frac{3}{2} = -6 \cdot 3 = -18 \).
3. Выразим \( k \): \( k = -18 - 1 = -19 \).

Ответ к в): \( k = -19 \).