4. Решите задачу: Число 96 представьте в виде трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение было наибольшим.

Привет! Давай разберём эту задачку вместе. Тут нужно найти три числа, которые в сумме дают 96. При этом два из этих чисел должны быть одинаковыми, а их произведение — как можно больше.

Пусть наши три слагаемых будут x, x и y. Мы знаем, что их сумма равна 96:

\[ x + x + y = 96 \]

\[ 2x + y = 96 \]

Теперь выразим y через x:

\[ y = 96 - 2x \]

Нам нужно максимизировать произведение этих трёх чисел, то есть:

\[ P = x \cdot x \cdot y \]

\[ P = x^2 \cdot y \]

Подставим вместо y выражение, которое мы получили:

\[ P(x) = x^2 \cdot (96 - 2x) \]

\[ P(x) = 96x^2 - 2x^3 \]

Чтобы найти максимальное значение произведения, нам нужно найти вершину параболы или, в данном случае, точку экстремума функции. Для этого найдём производную функции P(x) по x и приравняем её к нулю:

\[ P'(x) = \frac{d}{dx}(96x^2 - 2x^3) \]

\[ P'(x) = 192x - 6x^2 \]

Теперь приравняем производную к нулю:

\[ 192x - 6x^2 = 0 \]

Вынесем общий множитель 6x:

\[ 6x(32 - x) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для x:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 32 \]

Поскольку по условию задачи слагаемые должны быть положительными, x не может быть равен 0. Значит, x = 32.

Теперь найдём y, подставив x = 32 в уравнение y = 96 - 2x:

\[ y = 96 - 2 \cdot 32 \]

\[ y = 96 - 64 \]

\[ y = 32 \]

Итак, наши три слагаемых равны 32, 32 и 32. Проверим:

\[ 32 + 32 + 32 = 96 \]

И произведение:

\[ 32 \cdot 32 \cdot 32 = 32768 \]

В этом случае все три числа равны, и два из них, очевидно, равны между собой.

Ответ: 32, 32, 32