4. Решите задачу. Дана прямоугольная трапеция ABCD. Большая боковая сторона CD равна меньшему основанию BC. Площадь этой трапеции равна 90√3 см². Известно, что ∠BCD = 120°. Найдите длину большего основания трапеции.

Пусть меньшее основание BC равно x см. Тогда CD = x см.

Так как ∠BCD = 120°, острый угол между боковой стороной CD и продолжением основания BC равен 60°. Высота трапеции равна вертикальной составляющей CD: h = x sin 60° = x√3/2.

Горизонтальная проекция CD на направление основания равна x cos 60° = x/2. Поэтому разность оснований равна x/2, а большее основание AD = x + x/2 = 3x/2.

По формуле площади трапеции:

90√3 = ((BC + AD) / 2) · h = ((x + 3x/2) / 2) · (x√3/2) = 5x²√3/8.

Отсюда x² = 144, значит, x = 12. Тогда AD = 3 · 12 / 2 = 18 см.

Ответ: 18