4. Решите задачу. Конструкторское бюро получило 108 справочников и 180 наборов карандашей, которые поровну распределили между сотрудниками. Сколько сотрудников в конструкторском бюро, если их больше 30?

Решение:

Чтобы узнать, сколько сотрудников в конструкторском бюро, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 108 и 180, так как предметы распределили поровну между всеми сотрудниками. При этом количество сотрудников должно быть больше 30.

1. Разложим числа 108 и 180 на простые множители:
• \( 108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3 \)
• \( 180 = 10 \cdot 18 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 9) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
2. Найдем общие множители и наименьшие степени:
• Общие множители: \( 2 \) и \( 3 \).
• Наименьшие степени: \( 2^2 \) и \( 3^2 \).
3. Вычислим НОД:
• \( \text{НОД}(108, 180) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \)
4. Поскольку НОД равен 36, и это число больше 30, то сотрудников в бюро 36 человек.

Ответ: 36 сотрудников.