4. Решите задачу 1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

Дано:

• Правильная треугольная призма.
• Высота (боковое ребро) \( h = 9 \) см.
• Диагональ боковой грани \( d = 15 \) см.

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

1. Найдём сторону основания призмы.

Боковая грань правильной треугольной призмы — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, его высота (боковое ребро) и сторона основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\[ d^2 = h^2 + a^2 \]

где \( a \) — сторона основания.

\[ 15^2 = 9^2 + a^2 \]
\[ 225 = 81 + a^2 \]
\[ a^2 = 225 - 81 \]
\[ a^2 = 144 \]
\[ a = \sqrt{144} = 12 \] см.

Сторона основания призмы равна 12 см.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту:

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]

Периметр основания правильного треугольника:

\[ P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \] см.

Тогда площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 36 \cdot 9 = 324 \] см².

3. Найдём площадь полной поверхности.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[ S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \]

Площадь основания (правильного треугольника) равна:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \] см².

Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 324 + 2 \cdot (36 \sqrt{3}) = 324 + 72 \sqrt{3} \] см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 324 см², площадь полной поверхности равна \( 324 + 72 \sqrt{3} \) см².