4. Рис. 162. ABCD — трапеция. AD = 30. Найти: BC.

Основания AD и BC параллельны, а ∠C = 90°, значит, CD ⟂ AD. Диагональ BD образует с CD угол 45°, поэтому в прямоугольном треугольнике BCD второй острый угол тоже равен 45°, и BC = CD.

Угол ABC равен 135°, поэтому ∠ABD = 135° − 45° = 90°. В треугольнике ABD угол при D равен 45° (так как ∠ADC = 90°), следовательно, ∠A также равен 45° и BD = AD/√2.

В треугольнике BCD с углами 45°, 45°, 90° гипотенуза BD равна BC√2. Поэтому AD/√2 = BC√2, откуда BC = AD/2 = 30/2 = 15.

Ответ: BC = 15.