4. Рис. 162. ABCD — трапеция. Найти: BC.

Так как ABCD — трапеция, AD ∥ BC. По рисунку ∠BCD = 90°, а ∠CDB = 45°. Поэтому треугольник BCD — прямоугольный равнобедренный, и ∠CBD = 45°.

Угол при вершине B трапеции равен 135°, значит ∠ABD = 135° − 45° = 90°. Поскольку AD ∥ BC и CD ⟂ BC, получаем CD ⟂ AD, поэтому ∠ADB = 90° − 45° = 45°. Треугольник ABD — прямоугольный равнобедренный, а AD = 30 — его гипотенуза.

Следовательно, BD = 30 ÷ √2 = 15√2. В треугольнике BCD гипотенуза BD, поэтому BC = BD · sin 45° = 15√2 · √2/2 = 15.

Ответ: BC = 15.