4. Рис. 162. ABCD — трапеция. Найти BC. На рисунке AD = 30, ∠ABD = 135°, ∠BDC = 45°, ∠BCD = 90°; основания AD и BC параллельны.

Так как BC ∥ AD, а BD — секущая, углы ABD и BDA являются внутренними односторонними, поэтому их сумма равна 180°:

∠BDA = 180° − 135° = 45°.

В треугольнике BCD угол при C прямой, а ∠BDC = 45°. Тогда ∠CBD = 45°, поэтому треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, и BC = CD.

Обозначим BC = CD = x. В прямоугольном треугольнике BCD гипотенуза BD равна x√2. В треугольнике ABD угол D равен 45°, а угол B — 135° − 45° = 90°. Значит, ABD — прямоугольный треугольник с углом 45°, и его катеты равны: AB = AD = 30. Следовательно, BD = 30√2.

Приравниваем выражения для BD: x√2 = 30√2, откуда x = 30.

Ответ: BC = 30.