4*. Ромб OABC лежит в первой координатной четверти, причём точка O является началом координат, точка C лежит на положительной полуоси Ox. Сторона ромба равна 5, высота ромба равна 4. 1) Укажите координаты точек A, B и C. 2) Укажите координаты точки M, если M — середина стороны BC. 3) Найдите длину отрезка OB.

Так как C лежит на положительной полуоси Ox и OC — сторона ромба длиной 5, то C(5; 0).

Высота ромба равна 4, поэтому вертикальная составляющая стороны OA равна 4. Горизонтальная составляющая находится из прямоугольного треугольника с гипотенузой 5:
\(x^2+4^2=5^2\), откуда \(x=3\). Поскольку ромб лежит в первой четверти, A(3; 4).

Противоположная вершина B получается сложением векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\): \(B=(3+5; 4+0)=(8; 4)\).

Координаты середины BC — средние арифметические соответствующих координат концов: \(M\left(\frac{8+5}{2};\frac{4+0}{2}\right)=(6.5; 2)\).

Длина OB по формуле расстояния между точками: \(OB=\sqrt{(8-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).

Ответ: 1) A(3; 4), B(8; 4), C(5; 0); 2) M(6.5; 2); 3) OB = \(4\sqrt{5}\).