4. С помощью циркуля и линейки постройте серединный перпендикуляр к отрезку АВ. АМ=10 см. Чему равен отрезок МВ? (Проведите доказательство, опираясь на свойство серединного перпендикуляра)

Решение:

1. Построение серединного перпендикуляра:
   1. Из точки А провести дугу окружности радиусом большим половины отрезка АВ.
   2. Из точки В провести дугу окружности тем же радиусом, пересекающую первую дугу в точках М и N.
   3. Соединить точки М и N. Прямая МN является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
2. Нахождение МВ: Точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка. Следовательно, МА = МВ.
3. Доказательство: Рассмотрим треугольники АМО и ВМО (где О - точка пересечения АВ и МN). АО = ВО (так как МN - серединный перпендикуляр). МО - общая сторона. Угол МОА = Угол МОB = 90°. По двум сторонам и углу между ними (Сравнение треугольников по двум сторонам и углу между ними) треугольники АМО и ВМО равны. Следовательно, МА = МВ.

Ответ: МВ = 10 см