4. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 24/25. Диаметр описанной около него окружности равен 50. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD, вписанный в окружность. Диагональ AC является диаметром описанной окружности, значит, AC = 50.

Пусть угол между стороной AB и диагональю AC равен \(\alpha\). По условию, \(\sin \alpha = \frac{24}{25}\).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( AB = AC \cdot \cos \alpha \)
• \( BC = AC \cdot \sin \alpha \)

Найдем \( \cos \alpha \) из основного тригонометрического тождества: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625} \]

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25} \] (так как угол в прямоугольном треугольнике острый, косинус положителен).

Теперь найдем стороны прямоугольника:

• \( AB = 50 \cdot \frac{7}{25} = 2 \cdot 7 = 14 \)
• \( BC = 50 \cdot \frac{24}{25} = 2 \cdot 24 = 48 \)

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = AB \cdot BC = 14 \cdot 48 \]

\[ 14 \cdot 48 = 14 \cdot (50 - 2) = 14 \cdot 50 - 14 \cdot 2 = 700 - 28 = 672 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна 672.