4. СК- касательная к окружности с центром в точке О, причем С - точка касания. Радиус окружности 5 см. Угол СКО =30°. Найти расстояние от центра окружности до точки К. 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС. Угол АВС=51°. Найдите величину угла ВОС.

Решение:

1. 4. Найдём расстояние от центра окружности до точки К:

   Так как СК — касательная, то радиус ОС перпендикулярен касательной в точке касания С. Значит, \( \triangle CKO \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \text{при } C \). Нам дан радиус \( OC = 5 \) см и угол \( \text{СКО} = 30° \). Нам нужно найти расстояние от центра О до точки К, то есть длину гипотенузы \( OK \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle CKO \) катет \( OC \) лежит напротив угла \( 30° \). Следовательно, \( OC \) равен половине гипотенузы \( OK \). \( OK = 2 \times OC = 2 \times 5 \text{ см} = 10 \text{ см} \).

2. 5. Найдём величину угла ВОС:

   Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Углы при основании равны: \( \text{угол } BAC = \text{угол } BCA = (180° - 51°)/2 = 129°/2 = 64.5° \). Угол ВОС является центральным углом, опирающимся на дугу ВС. Угол ВАС является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. \( \text{Угол } BAC = 64.5° \). Следовательно, \( \text{угол } BOC = 2 \times \text{угол } BAC = 2 \times 64.5° = 129° \).

Ответ: 4. 10 см; 5. 129°.