4. Случай, когда 3 точки лежат в полуплоскости α, а 7 точек — в полуплоскости β, показан на рисунке к решению пункта а) этой задачи. Там прямая l пересекает ровно 21 отрезок. А для остальных случаев давайте составим таблицу.

Если в полуплоскости α находятся m точек, а в полуплоскости β — n точек, то отрезки, пересекающие прямую l, соединяют точки из разных полуплоскостей. Таких отрезков m · n.

Всего точек 10, поэтому n = 10 − m. Рассмотрим все возможные значения m от 0 до 10:

Для приведённого случая: 3 · 7 = 21.

По таблице видно, что 20 среди возможных значений нет.

Ответ: прямая l не может пересекать ровно 20 отрезков.