4. Смежные углы ABC и DBC относятся как 3 : 6. Луч BK — биссектриса угла ABC, луч BM — биссектриса угла DBC. Найдите: а) ∠DBK; б) ∠KBM.

Смежные углы в сумме равны 180°. Пусть их величины равны 3x и 6x. Тогда 3x + 6x = 180°, откуда x = 20°.

Следовательно, ∠ABC = 60°, а ∠DBC = 120°.

Луч BK делит угол ABC пополам, поэтому ∠KBC = 60° ÷ 2 = 30°. Луч BM делит угол DBC пополам, поэтому ∠CBM = 120° ÷ 2 = 60°.

а) Так как BA и BD — противоположные лучи, ∠DBK = 180° − ∠ABK = 180° − 30° = 150°.

б) Углы KBC и CBM смежны по расположению лучей относительно BC и составляют угол между BK и BM: ∠KBM = 30° + 60° = 90°.

Ответ: а) ∠DBK = 150°; б) ∠KBM = 90°.