4. Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а второй — через 80 с после разрыва. Определите отношение масс осколков.

Примем, что осколки упали на уровень точки выстрела, и возьмём ускорение свободного падения равным 10 м/с².

1. Высота разрыва: \(h=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{400^2}{2\cdot10}=8000\) м.
2. Скорость первого осколка при ударе равна \(2v_0=800\) м/с. По формуле \(v^2=u^2+2gh\), где \(u\) — скорость осколка сразу после разрыва, получаем \(u_1^2=800^2-2\cdot10\cdot8000=480000\), поэтому \(|u_1|=400\sqrt3\) м/с.
3. Для второго осколка используем перемещение за 80 с. Если считать направление вниз положительным, то \(h=u_2t+\frac{gt^2}{2}\). Тогда \(u_2=\frac{8000-\frac{10\cdot80^2}{2}}{80}=-300\) м/с. Значит, сразу после разрыва второй осколок двигался вверх со скоростью 300 м/с.
4. В наивысшей точке скорость снаряда до разрыва была нулевой, поэтому по закону сохранения импульса импульсы осколков равны по модулю и противоположны: \(m_1\cdot400\sqrt3=m_2\cdot300\).

Отсюда \(\frac{m_1}{m_2}=\frac{300}{400\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{4}\).

Ответ: отношение массы первого осколка к массе второго равно \(\sqrt3:4\).