4. Сократите дроби: 1) $\dfrac{m-3m^{1/3}}{m^{2/3}-3}$; 2) $\dfrac{m^{1/2}-n^{1/2}}{m^{1/4}+n^{1/4}}$; 3) $\dfrac{x^{1/3}-2x^{1/6}y^{1/6}+y^{1/3}}{x^{1/2}y^{1/3}-x^{1/3}y^{1/2}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Сократите дроби: 1) $\dfrac{m-3m^{1/3}}{m^{2/3}-3}$; 2) $\dfrac{m^{1/2}-n^{1/2}}{m^{1/4}+n^{1/4}}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $t=m^{1/3}$. Тогда числитель раскладывается на множители:
$\dfrac{m-3m^{1/3}}{m^{2/3}-3}=\dfrac{t^3-3t}{t^2-3}=\dfrac{t(t^2-3)}{t^2-3}=t$.
Сокращение допустимо при $t^2\ne3$, то есть $m\ne\pm3\sqrt3$.
Ответ: $m^{1/3}$, при $m\ne\pm3\sqrt3$.
Разложим числитель как разность квадратов:
$\dfrac{m^{1/2}-n^{1/2}}{m^{1/4}+n^{1/4}}=\dfrac{(m^{1/4})^2-(n^{1/4})^2}{m^{1/4}+n^{1/4}}=m^{1/4}-n^{1/4}$.
Для исходной дроби нужно $m,n\ge0$ и $m^{1/4}+n^{1/4}\ne0$, то есть $(m,n)\ne(0,0)$.
Ответ: $m^{1/4}-n^{1/4}$.
Числитель — квадрат разности:
$x^{1/3}-2x^{1/6}y^{1/6}+y^{1/3}=(x^{1/6}-y^{1/6})^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель:
$x^{1/2}y^{1/3}-x^{1/3}y^{1/2}=x^{1/3}y^{1/3}(x^{1/6}-y^{1/6})$.
Сократив общий множитель, получаем $\dfrac{x^{1/6}-y^{1/6}}{x^{1/3}y^{1/3}}$. Исходная дробь определена при $x,y\ge0$, $x\ne0$, $y\ne0$ и $x\ne y$.
Ответ: $\dfrac{x^{1/6}-y^{1/6}}{x^{1/3}y^{1/3}}$.

4. Сократите дроби: 1) \(\dfrac{m-3m^{1/3}}{m^{2/3}-3}\); 2) \(\dfrac{m^{1/2}-n^{1/2}}{m^{1/4}+n^{1/4}}\); 3) \(\dfrac{x^{1/3}-2x^{1/6}y^{1/6}+y^{1/3}}{x^{1/2}y^{1/3}-x^{1/3}y^{1/2}}\).