4. Солнечные лучи падают на землю под углом \(\varphi = 24^{\circ}\) к ее поверхности. Под каким углом к горизонту нужно расположить плоское

Решение:

Солнечные лучи падают под углом \(\varphi = 24^{\circ}\) к поверхности Земли. Горизонт — это и есть поверхность Земли.

Если лучи падают под углом \(24^{\circ}\) к поверхности (горизонту), то для того, чтобы плоское зеркало отражало их вертикально вверх (например, чтобы осветить что-то), угол между падающим лучом и зеркалом должен быть таким, чтобы угол отражения был равен углу падения, и отражённый луч был перпендикулярен горизонту.

Угол падения \(\alpha_{пад}\) — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности зеркала.

Угол между падающим лучом и горизонтом равен \(\varphi = 24^{\circ}\). Угол между горизонтом и нормалью к зеркалу равен \(90^{\circ}\). Если зеркало расположено под углом \(\gamma\) к горизонту, то угол между нормалью к зеркалу и горизонтом равен \(90^{\circ} - \gamma\).

Угол падения \(\alpha_{пад} = |90^{\circ} - \gamma - \varphi|\) или \(\alpha_{пад} = |90^{\circ} - \gamma + \varphi|\) в зависимости от ориентации.

Угол отражения \(\alpha_{отр}\) равен углу падения: \(\alpha_{отр} = \alpha_{пад}\).

Отражённый луч должен быть направлен вертикально вверх, то есть под углом \(90^{\circ}\) к горизонту.

Рассмотрим случай, когда нам нужно, чтобы отражённый луч был направлен вертикально вверх. Угол между нормалью к зеркалу и вертикалью равен \(\alpha_{отр}\). Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом равен \(90^{\circ} - \gamma\). Угол между вертикалью и горизонтом равен \(90^{\circ}\).

Если отражённый луч направлен вертикально вверх, то угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу равен \(90^{\circ} - 90^{\circ} = 0^{\circ}\) — это невозможно, если угол падения не равен 0.

Переформулируем: угол между падающим лучом и зеркалом равен \(90^{\circ} - \varphi = 90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Чтобы отражённый луч был вертикальным (направленным перпендикулярно горизонту), угол между падающим лучом и зеркалом и угол между отражённым лучом и зеркалом должны быть равны.

Угол между падающим лучом и зеркалом = \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Для того чтобы отражённый луч был вертикальным, угол между отражённым лучом и зеркалом должен быть равен \(90^{\circ} - 90^{\circ} = 0^{\circ}\) - это неверное рассуждение.

Правильное рассуждение:

Угол падения \(\alpha_{пад}\) равен углу отражения \(\alpha_{отр}\).

Пусть \(\gamma\) — угол, под которым расположено плоское зеркало к горизонту.

Угол между падающим лучом и горизонтом \(\varphi = 24^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу \(\alpha_{пад}\) будет зависеть от \(\gamma\).

Если зеркало расположено под углом \(\gamma\) к горизонту, то нормаль к зеркалу образует угол \(90^{\circ} - \gamma\) с горизонтом.

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = \(|(90^{\circ} - \gamma) - \varphi|\) или \(\alpha_{пад}\) = \(|(90^{\circ} - \gamma) + \varphi|\).

Нам нужно, чтобы отражённый луч был вертикальным. Угол между отражённым лучом и горизонтом должен быть \(90^{\circ}\).

Угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу равен \(\alpha_{отр} = \alpha_{пад}\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом равен \(90^{\circ}\).

Угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу равен \(\alpha_{отр}\).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Нормаль к зеркалу наклонена под углом \(90^{\circ} - \gamma\) к горизонту.

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = \(90^{\circ} - \gamma - 24^{\circ}\) (если \(90^{\circ} - \gamma > 24^{\circ}\)).

Угол отражения \(\alpha_{отр}\) = \(\alpha_{пад}\).

Угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу равен \(\alpha_{отр}\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом равен \(90^{\circ}\).

Это означает, что угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу равен \(|90^{\circ} - (90^{\circ} - \gamma)| = |\gamma|\).

Значит, \(\alpha_{отр} = |\gamma|\).

Из этого следует \(\alpha_{пад} = |\gamma|\).

Тогда \(90^{\circ} - \gamma - 24^{\circ} = \gamma\) (при условии \(90^{\circ} - \gamma > 24^{\circ}\)).

\(90^{\circ} - 24^{\circ} = 2\gamma\)

\(66^{\circ} = 2\gamma\)

\(\gamma = 33^{\circ}\).

Проверим условие \(90^{\circ} - 33^{\circ} > 24^{\circ}\) → \(57^{\circ} > 24^{\circ}\) — выполняется.

Случай 2: Нормаль к зеркалу наклонена под углом \(90^{\circ} + \gamma\) к горизонту (если зеркало наклонено в другую сторону).

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = \(90^{\circ} + \gamma - 24^{\circ}\).

Угол отражения \(\alpha_{отр}\) = \(\alpha_{пад}\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом равен \(90^{\circ}\).

Угол между отражённым лучом и нормалью равен \(\alpha_{отр}\).

Угол между нормалью и горизонтом равен \(90^{\circ} - \gamma\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом = \(|(90^{\circ} - \gamma) - \alpha_{отр}|\) или \(|(90^{\circ} - \gamma) + \alpha_{отр}|\).

Если отражённый луч вертикален, то угол между ним и нормалью к зеркалу равен \(|90 - (90 - \gamma)| = |\gamma|\) или \(|90 - (90 + \gamma)| = |-\gamma| = |\gamma|\) (если луч идет от нормали).

Итак, \(\alpha_{отр} = |\gamma|\).

Следовательно, \(\alpha_{пад} = |\gamma|\).

\(90^{\circ} + \gamma - 24^{\circ} = \gamma\) → \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 0\) — неверно.

\(90^{\circ} + \gamma - 24^{\circ} = -\gamma\) (если угол падения отсчитывается в другую сторону от нормали)

\(66^{\circ} = -2\gamma\) — неверно.

Вернёмся к основному условию: угол падения равен углу отражения. Пусть \(\gamma\) — угол наклона зеркала к горизонту.

Угол между падающим лучом и горизонтом = \(24^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и зеркалом = \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Чтобы отражённый луч был вертикальным (перпендикулярным горизонту), угол между отражённым лучом и зеркалом также должен быть \(66^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и отражённым лучом равен \(180^{\circ} - (66^{\circ} + 66^{\circ}) = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}\) (это угол между падающим лучом и отраженным лучом).

Сумма углов между падающим лучом и зеркалом, между зеркалом и отражённым лучом, и между падающим и отражённым лучом не складывается.

Правильный подход:

Угол между падающим лучом и поверхностью Земли (горизонтом) = \(24^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и нормалью к поверхности Земли = \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Пусть зеркало расположено под углом \(\gamma\) к горизонту.

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу.

Угол отражения \(\alpha_{отр}\) = угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу.

\(\alpha_{пад} = \alpha_{отр}\).

Нам нужно, чтобы отражённый луч был вертикальным, то есть угол между отражённым лучом и горизонтом = \(90^{\circ}\).

Если зеркало под углом \(\gamma\) к горизонту, то нормаль к зеркалу под углом \(90^{\circ} - \gamma\) к горизонту.

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = \(| (90^{\circ} - \gamma) - (90^{\circ} - 24^{\circ}) | = | \gamma - 24^{\circ} | \) (если угол между падающим лучом и нормалью к поверхности земли). Или \(\alpha_{пад} = | (90^{\circ} - \gamma) + (90^{\circ} - 24^{\circ}) |\) - это не так.

Угол между падающим лучом и горизонтом = \(24^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и зеркалом = \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Угол между зеркалом и горизонтом = \(\gamma\).

Угол между падающим лучом и нормалью к зеркалу: \(\alpha_{пад}\).

Угол между падающим лучом и зеркалом = \(90^{\circ} - \alpha_{пад}\).

\(66^{\circ} = 90^{\circ} - \alpha_{пад}\) → \(\alpha_{пад} = 24^{\circ}\).

Значит, падающий луч наклонен под углом \(24^{\circ}\) к нормали зеркала.

Теперь про отражённый луч. Он должен быть вертикальным, то есть под углом \(90^{\circ}\) к горизонту.

Угол между отражённым лучом и зеркалом = \(90^{\circ} - 90^{\circ} = 0^{\circ}\) — это когда отражённый луч идёт вдоль зеркала, что неверно.

Угол между отражённым лучом и зеркалом = \(66^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и отражённым лучом = \(66^{\circ} + 66^{\circ} = 132^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и горизонтом = \(24^{\circ}\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом = \(90^{\circ}\).

Разница в направлении отражённого луча относительно падающего равна \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Угол между падающим лучом и зеркалом = \(90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ}\).

Пусть \(\gamma\) — угол наклона зеркала к горизонту.

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = \(|90^{\circ} - \gamma - 24^{\circ}|\) (если падающий луч выше нормали к зеркалу).

Угол отражения \(\alpha_{отр}\) = \(\alpha_{пад}\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом = \(90^{\circ}\).

Угол между отражённым лучом и нормалью к зеркалу = \(\alpha_{отр}\).

Угол между нормалью к зеркалу и горизонтом = \(90^{\circ} - \gamma\).

Если отражённый луч вертикален, то угол между ним и нормалью к зеркалу = \(90^{\circ} - 90^{\circ} = 0\) — это когда нормаль вертикальна, то есть \(\gamma = 0\), тогда \(\alpha_{пад} = |90 - 0 - 24| = 66^{\circ}\), \(\alpha_{отр} = 66^{\circ}\). Угол между отраженным лучом и нормалью (вертикалью) = \(66^{\circ}\). Значит, угол между отраженным лучом и горизонтом = \(90^{\circ} - 66^{\circ} = 24^{\circ}\) — не вертикальный.

Пусть \(\gamma\) — угол между зеркалом и горизонтом.

Угол между падающим лучом и горизонтом = \(24^{\circ}\).

Угол падения \(\alpha_{пад}\) = \(90^{\circ} - \gamma - 24^{\circ}\) (если \(90^{\circ} - \gamma > 24^{\circ}\)).

Угол отражения \(\alpha_{отр}\) = \(\alpha_{пад}\).

Угол между отражённым лучом и горизонтом = \(90^{\circ}\).

Угол между отражённым лучом и нормалью = \(\alpha_{отр}\).

Угол между нормалью и горизонтом = \(90^{\circ} - \gamma\).

Тогда угол между отражённым лучом и горизонтом = \(|(90^{\circ} - \gamma) - \alpha_{отр}|\) или \(|(90^{\circ} - \gamma) + \alpha_{отр}|\).

Нам нужно, чтобы \(|(90^{\circ} - \gamma) - \alpha_{отр}| = 90^{\circ}\) или \(|(90^{\circ} - \gamma) + \alpha_{отр}| = 90^{\circ}\).

Рассмотрим первый случай: \(90^{\circ} - \gamma - \alpha_{отр} = 90^{\circ}\) → \(-\gamma - \alpha_{отр} = 0\) → \(\alpha_{отр} = -\gamma\) — невозможно.

\(90^{\circ} - \gamma - \alpha_{отр} = -90^{\circ}\) → \(180^{\circ} - \gamma = \alpha_{отр}\) — невозможно.

Рассмотрим второй случай: \(90^{\circ} - \gamma + \alpha_{отр} = 90^{\circ}\) → \(-\gamma + \alpha_{отр} = 0\) → \(\alpha_{отр} = \gamma\).

Так как \(\alpha_{пад} = \alpha_{отр}\), то \(\alpha_{пад} = \gamma\).

Из условия \(\alpha_{пад} = 90^{\circ} - \gamma - 24^{\circ}\) (при \(90^{\circ} - \gamma > 24^{\circ}\)), получаем:

\(\gamma = 90^{\circ} - \gamma - 24^{\circ}\)

\(2\gamma = 90^{\circ} - 24^{\circ}\)

\(2\gamma = 66^{\circ}\)

\(\gamma = 33^{\circ}\).

Проверим условие \(90^{\circ} - 33^{\circ} > 24^{\circ}\) → \(57^{\circ} > 24^{\circ}\) — выполняется.

Если \(90^{\circ} - \gamma < 24^{\circ}\), то \(\alpha_{пад} = 24^{\circ} - (90^{\circ} - \gamma) = \gamma - 66^{\circ}\) (при \(\gamma > 66^{\circ}\)).

Тогда \(\alpha_{пад} = \gamma\) → \(\gamma - 66^{\circ} = \gamma\) → \(-66^{\circ} = 0\) — невозможно.

Итак, угол наклона зеркала к горизонту равен \(33^{\circ}\).

Ответ: под углом 33°.