4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: а) 2 и 5; б) -1 и 0,8; в) 0 и -3; г) 1/2 и -1/4; д) √2 и -√2; е) 1-√2 и 1+√2.

Привет! Давай составим квадратные уравнения для каждого случая. Помнишь, что если у нас есть корни x₁ и x₂, то квадратное уравнение можно записать как: x² - (x₁ + x₂)x + x₁ * x₂ = 0. Сумма корней будет коэффициентом при x (с обратным знаком), а произведение корней — свободным членом.

а) Корни: 2 и 5

• Сумма корней: 2 + 5 = 7
• Произведение корней: 2 * 5 = 10
• Уравнение: x² - 7x + 10 = 0

б) Корни: -1 и 0,8

• Сумма корней: -1 + 0,8 = -0,2
• Произведение корней: -1 * 0,8 = -0,8
• Уравнение: x² - (-0,2)x + (-0,8) = 0 или x² + 0,2x - 0,8 = 0. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все на 10: 10x² + 2x - 8 = 0. Можно еще упростить, разделив на 2: 5x² + x - 4 = 0.

в) Корни: 0 и -3

• Сумма корней: 0 + (-3) = -3
• Произведение корней: 0 * (-3) = 0
• Уравнение: x² - (-3)x + 0 = 0 или x² + 3x = 0.

г) Корни: 1/2 и -1/4

• Сумма корней: 1/2 + (-1/4) = 2/4 - 1/4 = 1/4
• Произведение корней: (1/2) * (-1/4) = -1/8
• Уравнение: x² - (1/4)x + (-1/8) = 0 или x² - 1/4x - 1/8 = 0. Умножим все на 8, чтобы избавиться от дробей: 8x² - 2x - 1 = 0.

д) Корни: √2 и -√2

• Сумма корней: √2 + (-√2) = 0
• Произведение корней: (√2) * (-√2) = -2
• Уравнение: x² - 0x + (-2) = 0 или x² - 2 = 0.

е) Корни: 1-√2 и 1+√2

• Сумма корней: (1-√2) + (1+√2) = 1 - √2 + 1 + √2 = 2
• Произведение корней: (1-√2) * (1+√2). Здесь мы видим разность квадратов: (a-b)(a+b) = a² - b². Значит, 1² - (√2)² = 1 - 2 = -1.
• Уравнение: x² - 2x + (-1) = 0 или x² - 2x - 1 = 0.

Ответ:

1. а) x² - 7x + 10 = 0
2. б) 5x² + x - 4 = 0 (или 10x² + 2x - 8 = 0, или x² + 0,2x - 0,8 = 0)
3. в) x² + 3x = 0
4. г) 8x² - 2x - 1 = 0 (или x² - 1/4x - 1/8 = 0)
5. д) x² - 2 = 0
6. е) x² - 2x - 1 = 0