Ответ:

  1. Кончились занятия в школе, и мы с сестрой уехали на дачу. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения с разными грамматическими основами: занятия кончились, мы уехали. Союз «и» соединяет события.

  2. Была хорошая погода, и друзья отправились в лес. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения: погода была хорошая, друзья отправились. Союз «и» соединяет сообщения о сопутствующих обстоятельствах.

  3. Наступил вечер, но Серёжа не хотел возвращаться домой. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения: вечер наступил, Серёжа не хотел возвращаться. Союз «но» выражает противопоставление.

  4. Я с силой толкнул дверь, и она отворилась. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения: я толкнул, она отворилась. Союз «и» соединяет действия, второе из которых следует за первым.

  5. Я хотел уснуть, но мешали комары. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения: я хотел уснуть, комары мешали. Союз «но» выражает противопоставление: намерению уснуть помеха.