4. \(\sqrt{19-8\sqrt{3}}\)

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}\).

Нужно, чтобы \(a+b=19\) и \(ab=48\). Подходят числа \(16\) и \(3\).

Тогда \(\sqrt{19-8\sqrt{3}}=\sqrt{(4-\sqrt{3})^2}=|4-\sqrt{3}|\). Поскольку \(4>\sqrt{3}\), модуль равен \(4-\sqrt{3}\).

Ответ: \(4-\sqrt{3}\).