4 \(\sqrt[7]{3}\) \(\cos\)^3 x = \(\cos\)\(2x + \frac{\pi}{2}\)

Решение:

Нам нужно решить уравнение \( 4 \sqrt[7]{3} \cos^3 x = \cos(2x + \frac{\pi}{2}) \).

Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу косинуса суммы и то, что \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) и \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \):

\[ \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = \cos(2x) \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(2x) \sin(\frac{\pi}{2}) = \cos(2x) \cdot 0 - \sin(2x) \cdot 1 = -\sin(2x) \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ 4 \sqrt[7]{3} \cos^3 x = -\sin(2x) \]

Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \).

\[ 4 \sqrt[7]{3} \cos^3 x = -2 \sin x \cos x \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ 4 \sqrt[7]{3} \cos^3 x + 2 \sin x \cos x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 2 \cos x \):

\[ 2 \cos x (2 \sqrt[7]{3} \cos^2 x + \sin x) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( 2 \cos x = 0 \)

\[ \cos x = 0 \]\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

\( 2 \sqrt[7]{3} \cos^2 x + \sin x = 0 \)

Используем тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):

\[ 2 \sqrt[7]{3} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0 \]\[ 2 \sqrt[7]{3} - 2 \sqrt[7]{3} \sin^2 x + \sin x = 0 \]\[ -2 \sqrt[7]{3} \sin^2 x + \sin x + 2 \sqrt[7]{3} = 0 \]\[ 2 \sqrt[7]{3} \sin^2 x - \sin x - 2 \sqrt[7]{3} = 0 \]

Пусть \( y = \sin x \). Получаем квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ 2 \sqrt[7]{3} y^2 - y - 2 \sqrt[7]{3} = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(2 \sqrt[7]{3})(-2 \sqrt[7]{3}) = 1 + 16 \cdot (\sqrt[7]{3})^2 = 1 + 16 \cdot 3^{2/7} \]

Значение \( D \) положительное, поэтому есть два действительных корня для \( y \):

\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}} \]\[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}} \]

Так как \( y = \sin x \), то \( -1 ≤ y ≤ 1 \).

Оценим \( y_1 \) и \( y_2 \).

\( 3^{2/7} \) - это корень седьмой степени из \( 3^2=9 \). \( 1^7 = 1 \), \( 2^7 = 128 \). Значит, \( 3^{2/7} \) находится между 1 и 2, ближе к 1. Например, \( 3^{2/7} ≈ 1.2 \).

\( 16 \cdot 3^{2/7} ≈ 16 \cdot 1.2 = 19.2 \). \( \sqrt{1 + 19.2} = \sqrt{20.2} ≈ 4.5 \).

\( y_1 ≈ \frac{1 + 4.5}{4 \cdot 1.2} = \frac{5.5}{4.8} > 1 \). Это значение не подходит, так как \( \sin x ≤ 1 \).

\( y_2 ≈ \frac{1 - 4.5}{4.8} = \frac{-3.5}{4.8} ≈ -0.73 \). Это значение находится в диапазоне \( [-1, 1] \).

Таким образом, из второго случая получаем:

\[ \sin x = \frac{1 - \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}} \]\[ x = \(\arcsin\)\(\left\)\(\frac{1 - \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}}\right\) + 2 \(\pi\) k \) или \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}}\right) + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) или \( x = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}}\right) + 2 \pi k \) или \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{2/7}}}{4 \sqrt[7]{3}}\right) + 2 \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).