4. Стороны четырёхугольника ABCD и прямоугольника A₁B₁C₁D₁ соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Поскольку соответствующие стороны параллельны, имеем \(AB\parallel A_1B_1\), \(BC\parallel B_1C_1\), \(CD\parallel C_1D_1\), \(DA\parallel D_1A_1\).

1. В прямоугольнике противоположные стороны параллельны: \(A_1B_1\parallel C_1D_1\) и \(B_1C_1\parallel D_1A_1\). Следовательно, \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\). Значит, ABCD — параллелограмм.

2. Соседние стороны прямоугольника перпендикулярны: \(A_1B_1\perp B_1C_1\). Параллельные им прямые также перпендикулярны, поэтому \(AB\perp BC\).

3. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, ABCD — прямоугольник.