4. Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

Решение:

Пусть \( CE \) — гипотенуза, \( CD \) — катет, \( DE \) — второй катет прямоугольного треугольника CDE. Расстояние от вершины C до прямой DE — это длина катета CD, если угол D прямой, или другая высота.

По условию задачи имеем систему уравнений:

\( CE + CD = 31 \) см

\( CE - CD = 3 \) см

Сложим оба уравнения:

\( (CE + CD) + (CE - CD) = 31 + 3 \)

\( 2 CE = 34 \)

\( CE = 17 \) см

Теперь найдём \( CD \), подставив значение \( CE \) в первое уравнение:

\( 17 + CD = 31 \)

\( CD = 31 - 17 \)

\( CD = 14 \) см

В прямоугольном треугольнике CDE, угол D является прямым. Следовательно, CD является катетом, а DE — другим катетом. Гипотенуза — CE.

Расстояние от вершины C до прямой DE — это длина отрезка, перпендикулярного к прямой DE, проведённого из точки C. В прямоугольном треугольнике CDE, если угол D = 90°, то CD перпендикулярен DE. Следовательно, расстояние от C до прямой DE равно длине катета CD.

Ответ: 14 см.