4. Существуют ли значения переменной x, при которых значение квадратного трёхчлена x² − 10x + 31 равно: а) −5; б) 6; в) 55; г) 0? При положительном ответе укажите эти значения.

Преобразуем выражение, выделив квадрат двучлена:

\(x^2-10x+31=(x-5)^2+6\).

Поскольку \((x-5)^2\geq0\), значение выражения не меньше 6.

1. а) Значение −5 получить нельзя, так как оно меньше 6.
2. б) \((x-5)^2+6=6\), откуда \((x-5)^2=0\) и \(x=5\).
3. в) \((x-5)^2+6=55\), откуда \((x-5)^2=49\). Тогда \(x-5=7\) или \(x-5=-7\), поэтому \(x=12\) или \(x=-2\).
4. г) Значение 0 получить нельзя, так как оно меньше 6.

Ответ: а) нет; б) да, \(x=5\); в) да, \(x=-2\) или \(x=12\); г) нет.