4. Тип 16 № 462106 Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен √5 2 . Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

1. Пусть сторона квадрата ABCD равна 'a'.
2. Точка О - середина стороны CD. Следовательно, CO = OD = a/2.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Сторона AD = a, сторона OD = a/2.
4. По теореме Пифагора, гипотенуза AO равна: AO² = AD² + OD²
5. AO² = a² + (a/2)²
6. AO² = a² + a²/4
7. AO² = (4a² + a²) / 4
8. AO² = 5a² / 4
9. AO = √(5a² / 4)
10. AO = (a√5) / 2
11. По условию, радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен √5 / 2. Это означает, что AO = √5 / 2.
12. Приравниваем два выражения для AO: (a√5) / 2 = √5 / 2
13. Отсюда следует, что a = 1.
14. Площадь квадрата ABCD равна a².
15. Площадь = 1² = 1.

Ответ: 1