4. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N, P — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (см. рис.). Выясните взаимное расположение прямых: 1) PK и BC; 2) MP и AC; 3) MD и BC.

1) Прямые PK и BC лежат в одной плоскости DBC. По рисунку K не совпадает с N, поэтому PK не параллельна BC; следовательно, прямые PK и BC пересекаются.

2) В треугольнике DAC точки M и P — середины сторон DA и DC. По теореме о средней линии треугольника MP параллельна AC.

3) MD совпадает с прямой DA. Прямая DA пересекает плоскость ABC в точке A, а BC лежит в этой плоскости и не проходит через A. Поэтому DA и BC не пересекаются. Они также не могут быть параллельны: параллельная BC прямая через точку D должна была бы лежать в плоскости, проходящей через D и BC, и не пересекать плоскость ABC, тогда как DA пересекает её в A. Значит, MD и BC — скрещивающиеся прямые.

Ответ: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) скрещиваются.