№ 4. Точка D равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) на 8 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC, если AC = 12 см, ∠BAC = 30°.

Обозначим через O проекцию точки D на плоскость ABC. Поскольку DA = DB = DC, проекции A, B и C равноудалены от O, следовательно, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы AB. Найдём гипотенузу: \(AB=\frac{AC}{\cos 30^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}/2}=8\sqrt{3}\) см. Поэтому \(OA=\frac{AB}{2}=4\sqrt{3}\) см.

В прямоугольном треугольнике DOA по теореме Пифагора: \(DO^2=DA^2-OA^2=8^2-(4\sqrt{3})^2=64-48=16\), значит, \(DO=4\) см.

Ответ: 4 см.