4. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой МК, АМ и ВК — перпендикуляры к этой прямой. Докажите, что ΔАМК и ΔВМК равны, если АК = BM.

Доказательство:

Нам нужно доказать равенство двух треугольников: ΔАМК и ΔВМК.

Дано:

• Прямая МК.
• Точки А и В лежат по разные стороны от прямой МК.
• АМ ⊥ МК (угол АМК = 90°).
• ВК ⊥ МК (угол ВКМ = 90°).
• АК = BM (условие).

Доказать: ΔАМК = ΔВМК

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔАМК и ΔВМК.

1. Углы при вершине М: Углы ∠АМК и ∠ВМК — вертикальные. Вертикальные углы равны, значит, ∠АМК = ∠ВМК.
2. Стороны МК: Сторона МК является общей для обоих треугольников.
3. Прямые углы: По условию, АМ ⊥ МК и ВК ⊥ МК, следовательно, ∠АМК = 90° и ∠ВКМ = 90°.

Теперь проверим признаки равенства треугольников:

Признак 1 (по двум сторонам и углу между ними): У нас есть сторона МК, угол ∠АМК и сторона АМ в первом треугольнике. Во втором треугольнике — сторона МК, угол ∠ВМК и сторона ВК. Нам дано, что АК = BM, но это гипотенузы, а нам нужны катеты и угол между ними, или две стороны и угол между ними.

Признак 2 (по стороне и двум прилежащим углам): У нас есть сторона МК, угол ∠АМК и угол ∠MAK (в ΔАМК) и угол ∠MBK (в ΔВМК). Нам не дано равенство углов ∠MAK и ∠MBK.

Признак 3 (по двум сторонам и углу между ними): У нас есть сторона МК, угол ∠АМК и сторона АМ. В другом треугольнике — сторона МК, угол ∠ВМК и сторона ВК. Нам не дано равенство катетов АМ и ВК.

Пересмотрим условие: Нам дано, что АК = BM. Это гипотенузы, так как они лежат против прямых углов ∠АМК и ∠ВМК соответственно. Мы также знаем, что ∠АМК = 90° и ∠ВКМ = 90°. Это означает, что мы имеем дело с прямоугольными треугольниками.

Признак равенства прямоугольных треугольников:

1. По двум катетам: Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то такие треугольники равны. (Нам не дано равенство катетов АМ и ВК).
2. По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. (Нам не дано равенство острых углов ∠MAK и ∠MBK).
3. По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

В нашем случае, мы имеем:

• Гипотенузы: АК = BM (дано).
• Общая сторона МК является катетом для обоих треугольников.

Таким образом, по третьему признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), треугольники ΔАМК и ΔВМК равны.

Формально, используя признаки равенства треугольников (не только прямоугольных):

1. Угол ∠AMK = ∠BMK = 90° (вертикальные углы).
2. Сторона MK = MK (общая сторона).
3. AK = BM (дано условием).

Здесь мы имеем два угла и сторону, прилежащую к одному из них, но не к обоим. Нам нужно использовать равенство гипотенуз.

Повторим с учетом гипотенуз:

1. AK = BM (дано).
2. ∠AMK = ∠BMK = 90° (вертикальные углы).
3. MK - общая сторона.

Если бы угол между гипотенузой и прилежащим к ней катетом был равен, то это был бы признак по гипотенузе и острому углу. Но у нас есть гипотенуза и общий катет.

Из признака равенства по гипотенузе и катету:

1. AK = BM (гипотенузы равны, дано).
2. MK = MK (общий катет).

Следовательно, ΔАМК = ΔВМК по гипотенузе и катету.