4. Три плоскости параллельны. Скρεщивающиеся прямые a и b пересекают эти плоскости в точках A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃, причём A₂A₃ = 12 см, B₁B₂ = 4 см, A₁A₂ : B₂B₃ = 1 : 3. Найдите A₁A₂ и B₂B₃. Варианты: 1) 4 см; 12 см; 2) 6 см; 9 см; 3) 2 см; 6 см; 4) 1 см; 3 см.

Для трёх параллельных плоскостей отрезки, отсекаемые ими на любых пересекающих плоскости прямых, пропорциональны:

\(\dfrac{A_1A_2}{A_2A_3}=\dfrac{B_1B_2}{B_2B_3}\).

Пусть \(A_1A_2=x\), тогда из отношения \(A_1A_2:B_2B_3=1:3\) следует \(B_2B_3=3x\). Подставим известные длины:

\(\dfrac{x}{12}=\dfrac{4}{3x}\), поэтому \(3x^2=48\), \(x^2=16\). Длина положительна, значит \(x=4\) см, а \(B_2B_3=3\cdot4=12\) см.

Ответ: вариант 1 — 4 см; 12 см.