4. У числа 2¹⁰⁰ нашли сумму цифр; у результата снова нашли сумму цифр и т. д. В конце получилось однозначное число. Найдите его.

При замене числа суммой его цифр остаток при делении на 9 не меняется.

Поскольку 2⁶ = 64 даёт остаток 1 при делении на 9, а 100 = 6 · 16 + 4, получаем: 2¹⁰⁰ = (2⁶)¹⁶ · 2⁴. Значит, 2¹⁰⁰ при делении на 9 имеет тот же остаток, что и 2⁴ = 16, то есть 7.

Искомое однозначное число — 7.

Ответ: 7.