4. Упростить выражение: \(1-\frac{2x-1}{9x^2+6x+1}=\frac{3x}{3x+1}\).

На доске записано равенство, поэтому найдём его решение. Область допустимых значений: \(3x+1\ne0\), то есть \(x\ne-\frac13\). Заметим, что \(9x^2+6x+1=(3x+1)^2\).

Преобразуем левую часть: \(1-\frac{2x-1}{(3x+1)^2}=\frac{(3x+1)^2-(2x-1)}{(3x+1)^2}=\frac{9x^2+4x+2}{(3x+1)^2}\).

Приравняем числители после умножения на ненулевой знаменатель: \(9x^2+4x+2=3x(3x+1)=9x^2+3x\). Отсюда \(x=-2\), это значение допустимо.

Ответ: \(x=-2\).