4. Упростить выражение: А) $\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}-1\right)\cdot\dfrac{2ab}{a-b}$; Б) $\left(a-b+\dfrac{2ab}{a-b}\right)\cdot\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$; В) $\left(\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{n}{m^2-mn}\right):\dfrac{m}{n-m}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростить выражение: А) $\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}-1\right)\cdot\dfrac{2ab}{a-b}$; Б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}-1\right)\cdot\dfrac{2ab}{a-b}=\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}\cdot\dfrac{2ab}{a-b}=\dfrac{2(a^2-ab+b^2)}{a-b}$.
Ограничения исходного выражения: $a\ne0$, $b\ne0$, $a\ne b$.
Приведём сумму в скобках к общему знаменателю, затем разложим разность квадратов:
$\left(a-b+\dfrac{2ab}{a-b}\right)\cdot\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{(a-b)^2+2ab}{a-b}\cdot\dfrac{(a-b)(a+b)}{a^2+b^2}$.
Так как $(a-b)^2+2ab=a^2+b^2$, получаем $a+b$. Ограничение: $a\ne b$; для действительных чисел $a^2+b^2\ne0$ при этих условиях.
Разложим знаменатель второй дроби: $m^2-mn=m(m-n)$. Тогда
$\left(\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{n}{m^2-mn}\right):\dfrac{m}{n-m}=\left(\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{n}{m(m-n)}\right)\cdot\dfrac{n-m}{m}$.
В скобках $\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{n}{m(m-n)}=\dfrac{m-n}{m(m-n)}=\dfrac1m$. Поэтому результат равен $\dfrac{n-m}{m^2}$.
Ограничения исходного выражения: $m\ne0$, $m\ne n$.

4. Упростить выражение: А) \(\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}-1\right)\cdot\dfrac{2ab}{a-b}\); Б) \(\left(a-b+\dfrac{2ab}{a-b}\right)\cdot\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\); В) \(\left(\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{n}{m^2-mn}\right):\dfrac{m}{n-m}\).