4. Упростите выражение: ((3√3 + 1)/(√3 − 1) + √3) · 1/(√3 + 1). 1) 2; 2) 2/(√3 + 1); 3) √3 + 2; 4) √3 − 1.

Обозначим \(r=\sqrt{3}\). Тогда

\(\dfrac{3r+1}{r-1}=\dfrac{(3r+1)(r+1)}{(r-1)(r+1)}=\dfrac{10+4r}{2}=5+2r\).

Подставим и упростим:

\(\left(5+2r+r\right)\cdot\dfrac{1}{r+1}=\dfrac{5+3r}{r+1}\).

Рационализируем знаменатель:

\(\dfrac{5+3r}{r+1}=\dfrac{(5+3r)(r-1)}{(r+1)(r-1)}=\dfrac{4+2r}{2}=2+r\).

Ответ: 3) \(\sqrt{3}+2\).