4. Упростите выражение: а) \(\dfrac{\cos 5a-\cos a}{\sin a+\sin 5a}\); б) \(\dfrac{1+\cos 2a}{\sin\left(\dfrac a2+a\right)}\).

а) Применим формулы суммы и разности:

\[\cos 5a-\cos a=-2\sin\frac{5a+a}{2}\sin\frac{5a-a}{2}=-2\sin 3a\sin 2a;\]

\[\sin a+\sin 5a=2\sin\frac{a+5a}{2}\cos\frac{a-5a}{2}=2\sin 3a\cos 2a.\]

Следовательно,

\[\frac{\cos 5a-\cos a}{\sin a+\sin 5a}=\frac{-2\sin 3a\sin 2a}{2\sin 3a\cos 2a}=- g 2a.\]

б) Сначала упростим аргумент синуса:

\[\sin\left(\frac a2+a\right)=\sin\frac{3a}{2}.\]

Поэтому

\[\frac{1+\cos 2a}{\sin\left(\frac a2+a\right)}=\frac{1+\cos 2a}{\sin\frac{3a}{2}}=\frac{2\cos^2a}{\sin\frac{3a}{2}}.\]

Ответ: а) \(- g 2a\); б) \(\dfrac{2\cos^2a}{\sin\frac{3a}{2}}\).