4. Упростите выражение: а) \(\dfrac{(x-y)^2}{4x^2}\cdot\left(\dfrac{4x}{x-y}+\dfrac{4x}{y}\right)\); б) \(\left(x-\dfrac{5x-16}{x-3}\right):\left(3x-\dfrac{3x}{x-3}\right)\).

а) Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{4x}{x-y}+\dfrac{4x}{y}=\dfrac{4xy+4x(x-y)}{y(x-y)}=\dfrac{4x^2}{y(x-y)}\).

Подставим результат и сократим:

\(\dfrac{(x-y)^2}{4x^2}\cdot\dfrac{4x^2}{y(x-y)}=\dfrac{x-y}{y}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne y\).

б) Упростим каждую скобку:

\(x-\dfrac{5x-16}{x-3}=\dfrac{x(x-3)-(5x-16)}{x-3}=\dfrac{(x-4)^2}{x-3}\).

\(3x-\dfrac{3x}{x-3}=\dfrac{3x(x-3)-3x}{x-3}=\dfrac{3x(x-4)}{x-3}\).

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

\(\dfrac{(x-4)^2}{x-3}:\dfrac{3x(x-4)}{x-3}=\dfrac{(x-4)^2}{x-3}\cdot\dfrac{x-3}{3x(x-4)}=\dfrac{x-4}{3x}\).

В исходном выражении \(x\ne3\); делитель не должен быть равен нулю, поэтому также \(x\ne0\) и \(x\ne4\).

Ответ: а) \(\dfrac{x-y}{y}\), где \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne y\); б) \(\dfrac{x-4}{3x}\), где \(x\ne3\), \(x\ne0\), \(x\ne4\).