4. Упростите выражение: \(\left(\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}\right):\frac{2x^2+8}{x^2+4x+4}\).

ОДЗ: \(x\ne -2\) и \(x\ne 2\), поскольку исходное выражение содержит знаменатели \(x+2\), \(x-2\) и \((x+2)^2\).

1. Сложим дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю:

   \[\frac{x-2}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{(x-2)^2+(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{2x^2+8}{x^2-4}.\]

2. Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим знаменатель на множители:

   \[\frac{2x^2+8}{x^2-4}\cdot\frac{x^2+4x+4}{2x^2+8}=\frac{2x^2+8}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x+2)^2}{2x^2+8}.\]

3. Сократим общие множители:

   \[\frac{x+2}{x-2}.\]

Ответ: \(\frac{x+2}{x-2}\), где \(x\ne -2,\ 2\).