4) Упростите выражения. Вариант 1: а) $\frac{a+1}{a^2-ab}-\frac{1-b}{b^2-ab}$; б) $\frac{3x^2-8y^2}{x^2-2xy}-\frac{3xy-x^2}{xy-2y^2}$; в) $-\frac{2}{y^2-4}-\frac{1}{y^2+2y}$. Вариант 2: а) $\frac{x+4}{xy-x^2}+\frac{y+4}{xy-y^2}$; б) $\frac{4}{c^2-9}-\frac{2}{c^2+3c}$; в) $\frac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\frac{3a^2-x^2}{ax-3a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) Упростите выражения. Вариант 1: а) $\frac{a+1}{a^2-ab}-\frac{1-b}{b^2-ab}$; б)…$ Фото задания

4) Упростите выражения. Вариант 1: а) $\frac{a+1}{a^2-ab}-\frac{1-b}{b^2-ab}$; б) $\frac{3x^2-8y^2}{x^2-2xy}-\frac{3xy-x^2}{xy-2y^2}$; в) $-\frac{2}{y^2-4}-\frac{1}{y^2+2y}$. Вариант 2: а) $\frac{x+4}{xy-x^2}+\frac{y+4}{xy-y^2}$; б) $\frac{4}{c^2-9}-\frac{2}{c^2+3c}$; в) $\frac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\frac{3a^2-x^2}{ax-3a^2}$.

Accepted Answer

Вариант 1.

а) Ограничения: $a\ne0$, $b\ne0$, $a\ne b$. Используем разложения $a^2-ab=a(a-b)$, $b^2-ab=-b(a-b)$:

$\frac{a+1}{a(a-b)}-\frac{1-b}{-b(a-b)}=\frac{b(a+1)-a(1-b)}{ab(a-b)}=\frac{2ab+b-a}{ab(a-b)}$.

б) Ограничения: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne2y$, $x\ne y$, $x\ne0$ из знаменателя $xy-2y^2$ также требует $x\ne2y$. Разложим знаменатели:

$\frac{3x^2-8y^2}{x(x-2y)}-\frac{x(3y-x)}{y(x-2y)}=\frac{y(3x^2-8y^2)-x^2(3y-x)}{xy(x-2y)}=\frac{x^3-8y^3}{xy(x-2y)}$.

В числителе $x^3-8y^3=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$, поэтому результат $\frac{x^2+2xy+4y^2}{xy}$.

в) Ограничения: $y\ne2$, $y\ne-2$, $y\ne0$. Разложим знаменатели:

$-\frac{2}{(y-2)(y+2)}-\frac{1}{y(y+2)}=\frac{-2y-(y-2)}{y(y-2)(y+2)}=\frac{2-3y}{y(y^2-4)}$.

Вариант 2.

а) Ограничения: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$. Поскольку $xy-x^2=x(y-x)$, а $xy-y^2=y(x-y)$:

$\frac{x+4}{x(y-x)}+\frac{y+4}{y(x-y)}=\frac{-y(x+4)+x(y+4)}{xy(x-y)}=\frac{4(x-y)}{xy(x-y)}=\frac{4}{xy}$.

б) Ограничения: $c\ne3$, $c\ne-3$, $c\ne0$. Разложим знаменатели:

$\frac{4}{(c-3)(c+3)}-\frac{2}{c(c+3)}=\frac{4c-2(c-3)}{c(c-3)(c+3)}=\frac{2(c+3)}{c(c-3)(c+3)}=\frac{2}{c(c-3)}$.

в) Ограничения: $a\ne0$, $x\ne0$, $x\ne3a$. Разложим знаменатели: $x^2-3ax=x(x-3a)$, $ax-3a^2=a(x-3a)$. Тогда

$\frac{3a(x-9a)}{x(x-3a)}-\frac{3a^2-x^2}{a(x-3a)}=\frac{3a^2(x-9a)-x(3a^2-x^2)}{ax(x-3a)}$.

Числитель равен $x^3+3a^2x-27a^3$, поэтому итоговая дробь: $\frac{x^3+3a^2x-27a^3}{ax(x-3a)}$.

Ответ: вариант 1: а) $\frac{2ab+b-a}{ab(a-b)}$, б) $\frac{x^2+2xy+4y^2}{xy}$, в) $\frac{2-3y}{y(y^2-4)}$; вариант 2: а) $\frac{4}{xy}$, б) $\frac{2}{c(c-3)}$, в) $\frac{x^3+3a^2x-27a^3}{ax(x-3a)}$.