№4. В △ABC AB = 4, BC = 6, BD — биссектриса, ∠ABC = 45°. Найдите площади треугольников ABD и CBD.

Площадь исходного треугольника:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\sin45°=6\sqrt2\).

По теореме о биссектрисе \(AD:DC=AB:BC=4:6=2:3\). Треугольники ABD и CBD имеют основания AD и DC на одной прямой AC и общую высоту из B, поэтому их площади относятся как 2:3.

Следовательно, \(S_{ABD}=\frac25S_{ABC}=\frac{12\sqrt2}{5}\), а \(S_{CBD}=\frac35S_{ABC}=\frac{18\sqrt2}{5}\).

Ответ: \(S_{ABD}=\frac{12\sqrt2}{5}\), \(S_{CBD}=\frac{18\sqrt2}{5}\).