Контрольные задания > 4) В четырехугольнике ABCD известно, что LABC=68°, LADC=112°, LBAC=23°, LDAC=52°. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне AD.
Вопрос:

4) В четырехугольнике ABCD известно, что LABC=68°, LADC=112°, LBAC=23°, LDAC=52°. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне AD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Находим угол BAD: LBAD = LDAC + LBAC = 52° + 23° = 75°.
  2. Находим угол BCD: Сумма углов четырехугольника равна 360°. LBCD = 360° - LABC - LADC - LBAD = 360° - 68° - 112° - 75° = 105°.
  3. В треугольнике ABC: LABC = 68°, LBAC = 23°. Тогда LВСА = 180° - 68° - 23° = 89°.
  4. В треугольнике ADC: LADC = 112°, LDAC = 52°. Тогда LDCA = 180° - 112° - 52° = 16°.
  5. Находим угол ACD: LBCD = LВСА + LАCD. 105° = 89° + LАCD. LАCD = 105° - 89° = 16°. (Этот результат совпадает с расчетом из пункта 4, что подтверждает правильность предыдущих вычислений).
  6. Углы между диагоналями: Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Угол между диагоналями - это углы L BOC, L COD, L DOA, L AOB. Нас интересует угол, противолежащий стороне AD, это угол L BOC.
  7. В треугольнике BOC: Нам нужно найти L BOC. Мы знаем L DBC и L BCD.
  8. В треугольнике ABC: LABC = 68°, LBAC = 23°, LВСА = 89°.
  9. В треугольнике ADC: LADC = 112°, LDAC = 52°, L DCA = 16°.
  10. В треугольнике ABD: LBAD = 75°.
  11. В треугольнике BCD: LBCD = 105°.
  12. Рассмотрим треугольник BOC. Угол L BOC является внешним углом треугольника AOB. L BOC = L OAB + L OBA.
  13. Из треугольника ABC: L BAC = 23°.
  14. Из треугольника ADC: L DAC = 52°.
  15. В треугольнике AOD, угол L AOD = 180° - L DOA.
  16. Найдем угол L CAD: L CAD = 52°.
  17. Найдем угол L BAC: L BAC = 23°.
  18. Угол L BAD = L BAC + L CAD = 23° + 52° = 75°.
  19. В треугольнике ABC: L ABC = 68°, L BAC = 23°. Тогда L BCA = 180° - 68° - 23° = 89°.
  20. В треугольнике ADC: L ADC = 112°, L DAC = 52°. Тогда L DCA = 180° - 112° - 52° = 16°.
  21. Угол L BCD = L BCA + L DCA = 89° + 16° = 105°.
  22. Проверка суммы углов четырехугольника: L ABC + L BCD + L CDA + L DAB = 68° + 105° + 112° + 75° = 360°.
  23. Рассмотрим треугольник AOB. Нам нужно найти углы, образованные пересечением диагоналей AC и BD. Угол, противолежащий стороне AD, это угол L BOC.
  24. В треугольнике BOC: Угол L OBC = L ABC - L ABО. Угол L OCB = L BCA = 89°.
  25. В треугольнике AOB: Угол L AOB.
  26. В треугольнике COD: Угол L COD. L AOB = L COD (вертикальные углы).
  27. В треугольнике BOC: Угол L BOC. L BOC = L AOD (вертикальные углы).
  28. В треугольнике BOC: L BOC = 180° - (L OBC + L OCB).
  29. Нам нужно найти L OBC, то есть L DBC.
  30. В треугольнике ABD: L BAD = 75°, L ABC = 68°, L ADC = 112°.
  31. В треугольнике BCD: L BCD = 105°.
  32. Применим теорему синусов к треугольнику ABC: AC / sin(68°) = AB / sin(89°) = BC / sin(23°).
  33. Применим теорему синусов к треугольнику ADC: AC / sin(112°) = AD / sin(16°) = CD / sin(52°).
  34. Найдем угол L ABD. В треугольнике ABD: L BAD = 75°. Мы не знаем другие углы.
  35. Рассмотрим треугольник AOB. Угол L AOB = 180° - L OAB - L OBA = 180° - 23° - L OBA.
  36. Рассмотрим треугольник BOC. Угол L BOC = 180° - L OBC - L OCB. L OCB = 89°. L BOC = 180° - L OBC - 89° = 91° - L OBC.
  37. Рассмотрим треугольник COD. Угол L COD = 180° - L OCD - L ODC. L OCD = 16°. L COD = 180° - 16° - L ODC = 164° - L ODC.
  38. Угол L AOD = 180° - L COD = 180° - (164° - L ODC) = 16° + L ODC.
  39. Угол, противолежащий стороне AD, это угол L BOC.
  40. В треугольнике AOD: L OAD = 52°, L ODA = L ADC - L ODC = 112° - L ODC. L AOD = 180° - 52° - (112° - L ODC) = 180° - 52° - 112° + L ODC = 16° + L ODC.
  41. В треугольнике COD: L OCD = 16°, L ODC. L COD = 180° - 16° - L ODC = 164° - L ODC.
  42. L AOD = L BOC (вертикальные углы).
  43. L AOB = L COD (вертикальные углы).
  44. В треугольнике BOC: L BOC = 180° - L OBC - L OCB = 180° - L OBC - 89° = 91° - L OBC.
  45. В треугольнике AOB: L AOB = 180° - L OAB - L OBA = 180° - 23° - L OBA.
  46. L AOD = L BOC.
  47. 16° + L ODC = 91° - L OBC.
  48. L OBC = L ABC - L OBA = 68° - L OBA.
  49. 16° + L ODC = 91° - (68° - L OBA) = 91° - 68° + L OBA = 23° + L OBA.
  50. L ODC = L ADC - L ODA = 112° - L ODA.
  51. 16° + 112° - L ODA = 23° + L OBA.
  52. 128° - L ODA = 23° + L OBA.
  53. L ODA + L OBA = 105°.
  54. Рассмотрим треугольник ABD: L BAD = 75°.
  55. Рассмотрим треугольник BCD: L BCD = 105°.
  56. Применим теорему синусов к треугольнику ABD: AD/sin(L ABD) = BD/sin(75°).
  57. Применим теорему синусов к треугольнику BCD: CD/sin(L CBD) = BD/sin(105°).
  58. Угол, противолежащий стороне AD, это угол BOC.
  59. В треугольнике AOB: L OAB = 23°.
  60. В треугольнике COD: L OCD = 16°.
  61. Рассмотрим треугольник AOD. L OAD = 52°.
  62. Рассмотрим треугольник BOC. L OBC = L ABC - L OBA. L OCB = 89°.
  63. Угол L BOC = 180° - (L OBC + L OCB) = 180° - (L OBC + 89°) = 91° - L OBC.
  64. Угол L AOD = L BOC.
  65. В треугольнике AOD: L AOD = 180° - L OAD - L ODA = 180° - 52° - L ODA = 128° - L ODA.
  66. 91° - L OBC = 128° - L ODA.
  67. L ODA - L OBC = 37°.
  68. L OBC = L ABC - L OBA = 68° - L OBA.
  69. L ODA = L ADC - L ODC = 112° - L ODC.
  70. (112° - L ODC) - (68° - L OBA) = 37°.
  71. 112° - L ODC - 68° + L OBA = 37°.
  72. 44° - L ODC + L OBA = 37°.
  73. L OBA - L ODC = -7°.
  74. L ODC - L OBA = 7°.
  75. Рассмотрим треугольник COD: L COD = 180° - L OCD - L ODC = 180° - 16° - L ODC = 164° - L ODC.
  76. Рассмотрим треугольник AOB: L AOB = 180° - L OAB - L OBA = 180° - 23° - L OBA.
  77. L COD = L AOB (вертикальные углы).
  78. 164° - L ODC = 180° - 23° - L OBA.
  79. 164° - L ODC = 157° - L OBA.
  80. L OBA - L ODC = 157° - 164° = -7°.
  81. L ODC - L OBA = 7°. (Это совпадает с предыдущим расчетом).
  82. Теперь найдем L BOC.
  83. L BOC = 91° - L OBC.
  84. L OBC = L ABC - L OBA = 68° - L OBA.
  85. L BOC = 91° - (68° - L OBA) = 23° + L OBA.
  86. Так как L ODC - L OBA = 7°, то L OBA = L ODC - 7°.
  87. L BOC = 23° + (L ODC - 7°) = 16° + L ODC.
  88. Из треугольника AOD: L AOD = 128° - L ODA.
  89. L BOC = L AOD.
  90. 16° + L ODC = 128° - L ODA.
  91. L ODA + L ODC = 112°.
  92. Это верно, так как L ODA + L ODC = L ADC = 112°.
  93. У нас есть система:
  94. 1) L ODC - L OBA = 7°
  95. 2) L BOC = 16° + L ODC
  96. 3) L BOC = 23° + L OBA
  97. Из (1), L ODC = L OBA + 7°.
  98. Подставим в (2): L BOC = 16° + (L OBA + 7°) = 23° + L OBA.
  99. Это совпадает с (3).
  100. Нам нужно найти L BOC.
  101. Рассмотрим треугольник ABD. L BAD = 75°.
  102. Рассмотрим треугольник BCD. L BCD = 105°.
  103. Применим теорему синусов к треугольнику ABC: AC/sin(68°) = AB/sin(89°) = BC/sin(23°).
  104. Применим теорему синусов к треугольнику ADC: AC/sin(112°) = AD/sin(16°) = CD/sin(52°).
  105. Из этого следует:
  106. AC = BC * sin(68°)/sin(23°)
  107. AC = CD * sin(112°)/sin(52°)
  108. BC * sin(68°)/sin(23°) = CD * sin(112°)/sin(52°)
  109. BC/CD = sin(112°)*sin(23°) / (sin(68°)*sin(52°)).
  110. В треугольнике BOC: L BOC = 180° - L OBC - L OCB = 180° - L OBC - 89° = 91° - L OBC.
  111. В треугольнике COD: L COD = 180° - L OCD - L ODC = 180° - 16° - L ODC = 164° - L ODC.
  112. L BOC + L COD = 180° (развернутый угол).
  113. 91° - L OBC + 164° - L ODC = 180°.
  114. 255° - (L OBC + L ODC) = 180°.
  115. L OBC + L ODC = 255° - 180° = 75°.
  116. У нас есть система:
  117. 1) L OBC + L ODC = 75°
  118. 2) L ODC - L OBC = 7° (или L OBC - L ODC = -7°)
  119. Сложим два уравнения: 2 * L ODC = 82°. L ODC = 41°.
  120. Вычтем второе из первого: 2 * L OBC = 75° - 7° = 68°. L OBC = 34°.
  121. Проверим: L OBC + L ODC = 34° + 41° = 75°. L ODC - L OBC = 41° - 34° = 7°.
  122. Теперь найдем L BOC: L BOC = 91° - L OBC = 91° - 34° = 57°.
  123. Или L BOC = 164° - L ODC = 164° - 41° = 123°. Это неверно, так как L BOC и L COD смежные.
  124. L BOC = 180° - L COD.
  125. L COD = 164° - L ODC = 164° - 41° = 123°.
  126. L BOC = 180° - 123° = 57°.
  127. Итак, угол BOC = 57°.

Ответ: 57°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю