4. В каких точках касательная к графику функции y = x³ - 12x² + 36x - 1 параллельна оси Ох?

Решение:

Касательная к графику функции параллельна оси Ох, когда её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке.

1. Найдем производную функции \( y = x^3 - 12x^2 + 36x - 1 \). \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x^2 + 36x - 1) \) \( y' = 3x^2 - 24x + 36 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, где касательная параллельна оси Ох: \( 3x^2 - 24x + 36 = 0 \)
3. Разделим уравнение на 3: \( x^2 - 8x + 12 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16 \). \( √{D} = 4 \).
5. Найдем значения \( x \): \( x_1 = \frac{-(-8) + 4}{2 · 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) \( x_2 = \frac{-(-8) - 4}{2 · 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
6. Найдем соответствующие значения \( y \) для найденных \( x \):
• При \( x = 6 \): \( y = 6^3 - 12(6^2) + 36(6) - 1 = 216 - 12(36) + 216 - 1 = 216 - 432 + 216 - 1 = 432 - 432 - 1 = -1 \)
• При \( x = 2 \): \( y = 2^3 - 12(2^2) + 36(2) - 1 = 8 - 12(4) + 72 - 1 = 8 - 48 + 72 - 1 = 80 - 49 = 31 \)

Ответ: Касательная параллельна оси Ох в точках (6; -1) и (2; 31).