4. В клетки квадрата 3 × 3 вписали числа от 1 до 9, использовав каждое ровно один раз. Суммы чисел в средней строке, среднем столбце и на каждой из двух диагоналей одинаковы. Какие числа могут стоять в центральной клетке?

Обозначим число в центральной клетке через c, а общую сумму в каждой из четырёх указанных линий — через S.

1. Сумма чисел от 1 до 9 равна 45. При сложении сумм средней строки, среднего столбца и двух диагоналей центр учитывается четыре раза, а каждое из остальных чисел — один раз. Поэтому 4S = 45 + 3c.

2. Так как S — целое число, число 45 + 3c должно делиться на 4. Отсюда c ≡ 1 (mod 4), и среди чисел от 1 до 9 подходят только 1, 5 и 9.

3. Проверим, что каждое из этих значений возможно. В каждой строке ниже использованы числа от 1 до 9 по одному разу, а суммы средней строки, среднего столбца и обеих диагоналей равны:

   Центр 1, сумма линий 12:

   8  2  7
   6  1  5
   4  9  3

   Центр 5, сумма линий 15:

   8  1  6
   3  5  7
   4  9  2

   Центр 9, сумма линий 18:

   8  2  4
   1  9  5
   6  7  3

Ответ: в центральной клетке могут стоять числа 1, 5 и 9.