4. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен т, а противолежащий угол 30°. Грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с основанием угол 60°. Найдите объем конуса.

Пусть катет прямоугольного треугольника равен $$a = m$$. Противолежащий угол равен $$30^\circ$$. Тогда второй катет $$b = a / \tan(30^°) = m / (1/\sqrt{3}) = m\sqrt{3}$$. Гипотенуза $$c = a / \sin(30^°) = m / (1/2) = 2m$$. Радиус основания конуса $$R$$ равен половине гипотенузы, $$R = c/2 = m$$. Высота пирамиды $$h_p$$ связана с углом $$60^°$$ как $$\tan(60^°) = h_p / a$$, откуда $$h_p = a \tan(60^°) = m\sqrt{3}$$. Высота конуса $$H$$ равна высоте пирамиды, $$H = m\sqrt{3}$$. Объем конуса $$V = (1/3)\pi R^2 H = (1/3)\pi (m^2) (m\sqrt{3}) = \frac{\pi m^3 \sqrt{3}}{3}$$.