4. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми BA1 и B1D1.

Перенесём прямую \(BA_1\) параллельно самой себе к точке \(B_1\). Так как \(BB_1\parallel AA_1\), получаем \(BA_1\parallel B_1D_1\)? Нет: в стандартной разметке куба \(B_1D_1\) — диагональ верхней грани, а \(BA_1\) — диагональ передней грани.

Зададим координаты куба со стороной \(a\): \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(A_1=(0,0,a)\), \(B_1=(a,0,a)\), \(D_1=(0,a,a)\). Тогда направляющие векторы можно взять \(\overrightarrow{BA_1}=(-a,0,a)\) и \(\overrightarrow{B_1D_1}=(-a,a,0)\).

Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длина каждого вектора — \(a\sqrt{2}\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{a^2}{2a^2}=\frac12\), откуда \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).