4. В лаборатории производится анализ крови. Содержание сахара в крови вычисляется как среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Таблица содержит результаты пяти измерений содержания сахара (г/л) в одной пробе крови взрослого пациента. | Номер измерения | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |-----------------|-----|-----|-----|----|-----| | Содержание сахара (г/л) | 120 | 180 | 110 | 90 | 100 | а) Найдите среднее арифметическое результатов измерений; б) Найдите дисперсию результатов измерений. Выбрано правило: если квадрат отклонения значения от среднего арифметического превышает дисперсию больше чем в 3,5 раза, то это значение считается ненадежным (выбросом) и в дальнейшем не учитывается. в) Определите, является ли значение 180 ненадежным в соответствии с выбранным правилом. г) Найдите среднее арифметическое всех надежных значений. д) Нормальное содержание сахара в крови взрослого 80-110 г/л. Можно ли считать, что у данного пациента нормальное содержание сахара в крови?

Решение:

а) Среднее арифметическое результатов измерений:

Сумма измерений: \( 120 + 180 + 110 + 90 + 100 = 600 \) г/л.

Среднее арифметическое: \( \bar{x} = \frac{600}{5} = 120 \) г/л.

б) Дисперсия результатов измерений:

Найдем квадраты отклонений от среднего:

• \( (120 - 120)^2 = 0^2 = 0 \)
• \( (180 - 120)^2 = 60^2 = 3600 \)
• \( (110 - 120)^2 = (-10)^2 = 100 \)
• \( (90 - 120)^2 = (-30)^2 = 900 \)
• \( (100 - 120)^2 = (-20)^2 = 400 \)

Сумма квадратов отклонений: \( 0 + 3600 + 100 + 900 + 400 = 5000 \).

Дисперсия: \( D = \frac{5000}{5} = 1000 \).

в) Является ли значение 180 ненадежным (выбросом):

Квадрат отклонения значения 180 от среднего: \( (180 - 120)^2 = 60^2 = 3600 \).

Сравним квадрат отклонения с дисперсией, умноженной на 3,5:

\( 3.5 \times D = 3.5 \times 1000 = 3500 \).

Так как \( 3600 > 3500 \), значение 180 считается ненадежным (выбросом).

г) Среднее арифметическое всех надежных значений:

Надежные значения: 120, 110, 90, 100.

Сумма надежных значений: \( 120 + 110 + 90 + 100 = 420 \).

Среднее арифметическое надежных значений: \( \frac{420}{4} = 105 \) г/л.

д) Нормальное содержание сахара в крови:

Нормальное содержание сахара в крови у взрослого — 80-110 г/л. Среднее арифметическое всех надежных значений (105 г/л) попадает в этот диапазон. Хотя одно из измерений (180 г/л) было выше нормы, после исключения выброса среднее значение оказалось в пределах нормы.

Ответ: а) 120 г/л; б) 1000; в) Да, значение 180 является ненадежным; г) 105 г/л; д) Да, можно считать, что у данного пациента нормальное содержание сахара в крови.