4. В небольшом магазине работают два продавца. В случайный момент каждый из них может быть занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,3. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что в случайный момент: а) занят обслуживанием клиента только один из продавцов, а другой свободен; б) оба продавца свободны.

Решение:

Пусть событие \( P_1 \) — первый продавец занят, \( P(P_1) = 0,3 \).

Пусть событие \( P_2 \) — второй продавец занят, \( P(P_2) = 0,3 \).

Вероятность того, что оба продавца заняты одновременно, равна \( P(P_1 \text{ и } P_2) = 0,1 \).

а) Вероятность того, что занят только один продавец:

Это означает, что либо первый продавец занят, а второй свободен, либо наоборот.

Вероятность того, что первый продавец занят, а второй свободен: \( P(P_1 \text{ и не } P_2) = P(P_1) - P(P_1 \text{ и } P_2) = 0,3 - 0,1 = 0,2 \).

Вероятность того, что второй продавец занят, а первый свободен: \( P(\text{не } P_1 \text{ и } P_2) = P(P_2) - P(P_1 \text{ и } P_2) = 0,3 - 0,1 = 0,2 \).

Вероятность того, что занят только один продавец, равна сумме этих вероятностей:

\( 0,2 + 0,2 = 0,4 \).

б) Вероятность того, что оба продавца свободны:

Найдем вероятность того, что хотя бы один продавец занят. Это противоположное событие тому, что оба продавца свободны.

Вероятность того, что занят хотя бы один продавец: \( P(P_1 \text{ или } P_2) = P(P_1) + P(P_2) - P(P_1 \text{ и } P_2) = 0,3 + 0,3 - 0,1 = 0,5 \).

Вероятность того, что оба продавца свободны, равна 1 минус вероятность того, что хотя бы один продавец занят:

\( 1 - P(P_1 \text{ или } P_2) = 1 - 0,5 = 0,5 \).

Ответ: а) 0,4; б) 0,5.