4. В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью p=0,5. Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний наступит ровно 2 успеха.

Это задача на биномиальное распределение. Формула для нахождения вероятности ровно k успехов в n испытаниях:

\[ P_n(k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k} \]

Где:

• n — количество испытаний (у нас n=4).
• k — количество успехов (у нас k=2).
• p — вероятность успеха в одном испытании (p=0,5).
• q — вероятность неудачи в одном испытании (q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5).
• C_n^k — число сочетаний из n по k, которое считается по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k!)} \)

Сначала найдем число сочетаний:

\[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6 \]

Теперь подставим все значения в основную формулу:

\[ P_4(2) = C_4^2 \times p^2 \times q^{4-2} = 6 \times (0,5)^2 \times (0,5)^2 \]

\[ P_4(2) = 6 \times 0,25 \times 0,25 = 6 \times 0,0625 = 0,375 \]

Ответ: 0.375