4. В окружности с центром О и радиусом R проведена хорда АВ (см. рис. 72). Расстояние ОН от центра до хорды увеличилось с 6 до 9. На сколько уменьшилась длина хорды, если R = 10?

Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ - длины хорд при расстояниях $$OH_1 = 6$$ и $$OH_2 = 9$$ соответственно. Радиус $$R = 10$$. Используя теорему Пифагора, найдем половину длины хорды: $$(\frac{d}{2})^2 = R^2 - OH^2$$.

При $$OH_1 = 6$$: $$(\frac{d_1}{2})^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$, следовательно, $$\frac{d_1}{2} = 8$$, $$d_1 = 16$$.

При $$OH_2 = 9$$: $$(\frac{d_2}{2})^2 = 10^2 - 9^2 = 100 - 81 = 19$$, следовательно, $$\frac{d_2}{2} = \sqrt{19}$$, $$d_2 = 2\sqrt{19}$$.

Уменьшение длины хорды: $$d_1 - d_2 = 16 - 2\sqrt{19}$$.