4. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD (рис. 49). Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите отрезок BD, если AD = 7 см, ∠ACD = 30°.

Поскольку AC и BD — диаметры, вписанные углы, опирающиеся на каждый из них, прямые: ∠ABC = ∠ADC = 90°. Также ∠BAD и ∠BCD опираются на дуги, которым соответствуют диаметры BD и AC, поэтому они тоже равны 90°. Следовательно, ABCD — прямоугольник.

В треугольнике ACD угол ADC равен 90°, а угол ACD равен 30°. Сторона AD лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы AC:

AC = 2 · AD = 2 · 7 = 14 см.

Диаметры одной окружности равны, поэтому BD = AC = 14 см.

Ответ: BD = 14 см.